法向量矩阵

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在对vertex做model、view、projection计算过程中,还有一个要同时考虑的东西是法向量的矩阵变换

normal的变换并不能直接使用vertex的变换。如果直接使用的话,就会放了一个定时炸弹在你的shader里面,当哪天你的object做了一个不uniform的缩放变换时,例如x、y轴放大1.5倍,而z轴放大3倍,输出的normal就会出错,进而导致光照计算出错。

下面开始推导正确的只属于normal的变换矩阵。

推导

在做顶点变换时,model、view、projection三个连续变换矩阵一般可以合并为一个变换矩阵,设为M。

假设现在要渲染一个三角形,它的三个顶点分别为P1、P2、P3。

那么可以设,做M变换前,有切向量T = P2 - P1, P2' = P2 * M, P1‘ = P1 * M。

且有关系式:

T * M = (P2 - P1) * M = P2 * M - P1 * M = P2' - P1' = T'

M变换后,T’是P2'、P1'的切向量,且有T * M = T'。也就是说,M变换对切向量也同时成立。

现在,假设做M变换前三角形面片的法向量为N,则有:

\[ N \cdot T = N^{T}T = 0 \]

设M变换后,新的三角形P1'、P2'、P3'的法向量为N',那么可以列出等式:

\[ N' \cdot T' = (GN) \cdot (MT) \]

其中,新出现的G是法向量专属的变换矩阵,也是我们要求出来的东西。

因为上式是一个点积,所以有:

\[ (GN) \cdot (MT) = (GN)^{T}(MT) = N^{T}G^{T}MT \]

回顾刚才的一个式子:\( N^{T}T = 0 \),那么可以假设存在一个合适的G使得等式\( G^{T}M = I \)成立,从而使\( N' \cdot T' = 0 \) 也成立。

解开\( G^{T}M = I \)很简单:

\[ G^{T} = M^{-1} \]

\[ G = (M^{-1})^{T} \]

G就是我们要求的normal matrix,相应的G变换的shader代码就是:

    G = transpose(inverse(mat3(M));

注意,这里先对mat4的M做了个mat3的操作。这是为了去掉M变换的translation信息(因为normal和position不同,它是个朝向向量)。

参考资料

http://www.lighthouse3d.com/tutorials/glsl-12-tutorial/the-normal-matrix/

(未经授权禁止转载)
Written on October 15, 2017

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