<复习向>线性代数之矩阵与行列式(2)

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行列式的意义

貌似一般的线性代数教科书并没有告诉读者行列式的实际意义,只是教会了读者行列式的定义和计算方法。(起码我所阅读的线性代数课本没有提及)

那么在这里我简单地介绍一下。

一阶行列式

要说行列式的意义,得先从行列式的"|"符号谈起。下面是一阶方阵的行列式:

\[ |x| = x \]

是不是想到什么?一阶方阵,其实就是一个数,且它的行列式等于这个数。且,一阶方列式的写法,恰好就是高中数学里的绝对值写法!

想一下绝对值的几何意义:指明了一个实数(这里不提虚数)距离数轴原点的大小。

二阶行列式

现在看一下二阶行列式:

\( \left| \begin{matrix} x_{0}\ x_{1}\\ y_{0}\ y_{1}\\ \end{matrix} \right| \)

再变成用向量来表示:

\( |\ \alpha\ \beta\ | \)

于是,二阶行列式等于2个向量的"绝对值"。那么,对于2个向量,这个绝对值是什么?

首先,搬出向量的夹角公式:

\[ cos\theta = \dfrac {\alpha \cdot\ \beta } {|\alpha |\times|\beta |} \]

从上面的式子可以推出:

\[ sin\theta = \sqrt{1 - \dfrac {(\alpha \cdot\ \beta )^{2}} {|\alpha |^{2}\times |\beta |^{2}} } \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ |\alpha |^{2} \times |\beta |^{2} - (\alpha \cdot\ \beta )^{2} } \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})\times (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) - (x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1})^{2} } \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ x_{0}^{2}x_{1}^{2} + x_{0}^{2}y_{1}^{2} + y_{0}^{2}x_{1}^{2} + y_{0}^{2}y_{1}^{2} - x_{0}^{2}x_{1}^{2} - x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} - y_{0}^{2}y_{1}^{2} } \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ x_{0}^{2}y_{1}^{2} + x_{1}^{2}y_{0}^{2} - 2x_{0}x_{1}y_{0}y_{1} } \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \sqrt{ (x_{0}y_{1} - x_{1}y_{0})^{2} } \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = x_{0}y_{1} - x_{1}y_{0} \]

\[ |\alpha |\times |\beta |\times sin\theta = \left| \begin{matrix} x_{0}\ x_{1}\\ y_{0}\ y_{1}\\ \end{matrix} \right| = |\ \alpha\ \beta\ | \]

注意到了吗,这个式子的左边,赫然是平行四边形的面积公式!

所以,二阶行列式的几何意义就是2个向量组成的平行四边形的面积

parallelogram.png

三阶行列式

通过上面的分析,可以知道行列式在几何数学中是有某种意义的,那么三阶行列式又是什么东西呢?

三阶行列式:

\( \left| \begin{matrix} x_{0}\ x_{1}\ x_{2}\\ y_{0}\ y_{1}\ y_{2}\\ z_{0}\ z_{1}\ z_{2}\\ \end{matrix} \right| \)

再变成用向量来表示:

\( |\ \alpha\ \beta\ \gamma\ | \)

3个3维向量,想到了什么呢?没错,就是3维空间中的3个向量!

设 \( \alpha = (1,0,0)^{T} \) \( \beta = (0,1,0)^{T} \) \( \gamma = (0,0,1)^{T} \) , 即相当于3维正交坐标系的3条轴的单位向量。这样的3个单位向量组成的行列式,值等于1。

另外,巧合的是,这3个单位向量组成的正方体,体积也为1。实际上,3阶行列式确实等价于平行六面体的体积。

证明过程(暂无)。

parallelogram.png

(未经授权禁止转载)
Written on August 29, 2015

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