线性代数之各种各样的矩阵

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矩阵家族成员非常多,本文主要记录了我遇到过的矩阵(前面的文章所提到的矩阵,在这里就不重复列举了)。以后见识了新的矩阵时,会继续扩充本文。

(以下知识均查阅了wikipedia。单词的中文翻译查的是有道词典。)

余子式、代数余子式、代数余子式矩阵 Minor、Cofactor、Cofactor Matrix

wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Minor_(linear_algebra)

在wiki中余子式被叫做minor。minor不是一个独立的概念,当把一个方阵A中的第i行、第j列去掉后,剩余的元素组成的n-1阶方阵的行列式值,就是Minor。

Minor的记号是: \( M_{ij} \),是一个行列式值。 而Cofactor(中文是叫代数余子式?)的记号是: \( C_{ij} \),公式是:\( C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \)

(个人建议,一切记法以wiki为准,抛弃国内中文教材的记法和中英对应关系吧,太容易混乱了)

余子式矩阵Cofactor Matrix的定义:

由方阵A的所有代数余子式\( C_{ij} \)组成的矩阵叫做余子式矩阵,记为C,公式为:

\[ C = \left[ \begin{matrix} C_{11}&C_{12}&\ldots&C_{1n}\\ C_{21}&C_{22}&\ldots&C_{2n}\\ \vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ &\vdots \ \ \ \ \\ C_{n1}&C_{n2}&\ldots &C_{nn}\\ \end{matrix} \right] \]

伴随矩阵 Adjugate Matrix

wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix

In linear algebra, the adjugate, classical adjoint, or adjunct of a square matrix is the transpose of its cofactor matrix. The adjugate has sometimes been called the "adjoint", but today the "adjoint" of a matrix normally refers to its corresponding adjoint operator, which is its conjugate transpose.

注意:伴随矩阵在我大学的课本里用的记号是A^{},然而wiki是用adj(A)来表示伴随矩阵,A^{}表示的是共轭转置矩阵( conjugate transpose)。

公式:

\[ adj(A) = C^{T} \]

从公式可以发现,伴随矩阵就是代数余子式矩阵的转置。

共轭(转置)矩阵 Conjugate Transpose Matrix

公式上的定义:

\[ A^{*} = (\overline {A})^{T} \]

A上面的横线表示对矩阵中的元素的复数部分取反(类似复数的上横线)。

回想下共轭复数的定义,可以发现,矩阵的共轭,还需要再转置一下,很很大的一个不同点。

共轭矩阵还有其他表达形式:

\[ A^{\dagger } = A^{*} = A^{H} \]

厄米特矩阵 Hermitian matrix

厄米特矩阵也称为self-adjoint matrix,中文是:自伴矩阵、自共轭矩阵、自伴随矩阵。

厄米特矩阵必须满足下面的性质:

\[ A = A^{*} \]

即,A等于A的共轭矩阵时,A是一个厄米特矩阵。

单式矩阵 Unitary matrix

其他名称:酉矩阵/幺正矩阵。

看名字有点像单位矩阵(Unit matrix),但是公式上的定义是这样子的:

\[ U^{*}U = I \]

即:如果矩阵的共轭乘以矩阵自身等于单位矩阵,那么它是一个单式矩阵。

正定矩阵 Positive Definite Matrix

定义比较复杂,我翻译下wikipedia的定义吧:

一个对称的n阶实数矩阵M,设元素不全为0的列向量为z,当所有这样的z满足\( z^{T}Mz > 0\)时,M是正定矩阵。

根据定义,可以知道单位矩阵I是正定的;

贴上wiki的例子来帮助理解:

1.png

设M的z为(a,b,c),则有:

2.png

这个式子的结果显然是非负的,且当a=b=c=0时,这个式子才等于0,所以满足正定矩阵的条件。

此外,正定矩阵还有另外一个“间接”的定义:如果一个矩阵的所有特征值都是正数,那么这个矩阵是正定矩阵。要通过这个定义判断一个矩阵是不是正定矩阵,需要先知道这个矩阵的所有特征值。

半正定矩阵 Positive Semi-Definite

参考正定矩阵,半正定矩阵的定义公式是:\( z^{T}Mz >= 0\)。

半正定矩阵的“间接”的定义:如果一个矩阵的所有特征值都是正数或0(非负),那么这个矩阵是半正定矩阵

负定矩阵 Negative Definite Matrix

参考正定矩阵,负定矩阵的定义公式是:\( z^{T}Mz < 0\)。

负定矩阵的“间接”的定义:如果一个矩阵的所有特征值都是负数,那么这个矩阵是半正定矩阵

半负定矩阵 Negative Semi-Definite Matrix

参考正定矩阵,负定矩阵的定义公式是:\( z^{T}Mz <= 0\)。

半负定矩阵的“间接”的定义:如果一个矩阵的所有特征值都是负数或0(非正),那么这个矩阵是半正定矩阵

厄米特矩阵的正定矩阵

参考正定矩阵,厄米特矩阵的正定矩阵的定义公式是:\( z^{*}Mz > 0\),注意,算出来的值必须是实数,不能是复数。

规范化矩阵 Normal Matrix

又名:正规矩阵、正规阵、规范矩阵。

wiki:https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_matrix

当矩阵A满足下面的等式时,A是规范化矩阵:

\[ A^{*}A = AA^{*} \]

( \(A^{*}\) 代表A的共轭转置矩阵 )

双对角矩阵 Bidiagonal matrix

一图以言之:

10.png

(from wiki)

wiki:https://en.wikipedia.org/wiki/Bidiagonal_matrix

格拉姆矩阵 Gramian matrix

设矩阵X:

\[ X = \left[ \begin{matrix} \vec X_{1}&\vec X_{2}&\cdots &\vec X_{n}\\ \end{matrix} \right] \]

则Gramian matrix为:

\[ G = X^{T}X \]

性质:

  • G是positive semi-definite matrix正半定矩阵

  • G的行列式非0时,X是线性无关的(充分必要)(可用来判定X是否线性无关,很重要)

协方差矩阵 Covariance matrix (或离差矩阵dispersion matrix)

先给出协方差(covariance)公式:

\[ cov(X,Y) = \frac { \sum ^{n} _{i=1}(X_{i} - \overline {X})(Y_{i} - \overline {Y}) }{n-1} = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \]

协方差是一个测量2个变量关联性程度的方法。当变量数目多于2时,任意2个变量之间的协方差的集合就构成了协方差矩阵C:

\[ C = \Sigma _{ij} = cov(X_{i},X_{j}) = E[(X_{i} - E[X_{i}])(X_{j} - E[X_{j}])] \]

https://upload.wikimedia.org/math/5/8/5/58572fa5b05e778f5a5eff9ec1b3ddb6.png

(图片来源:wikipedia)

(未经授权禁止转载)
Written on October 5, 2015

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