蒙特·卡罗(Monte Carlo)积分在图形学中的应用

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计算着色点的间接光照

在计算一个着色点的间接光照时,理论上可以通过从着色点往上半球各个方向发射无数条光线,并计算这些光线返回的Rdiance值,就可以得到这个着色点的间接光照。但因为计算机的计算速度问题,不可能给一个着色点生成“无数”条光线,在工程实现上必然是得做成有限数量的光线,且很悲哀的,这个数量值不会很大。

那么如何用有限的光线,得到最真实的间接光照值呢?答案是用蒙特·卡罗积分。蒙特·卡罗积分的特性是,采样数越多就越接近真实积分值,而这正是做间接光照计算所需要的。譬如我们可以根据实际需求,设置采样数量,数量大就出图慢、精度高,数量小就出图快但粗糙。

下面开始数学环节。

计算间接光照的蒙特·卡罗方法

生成间接光照的各个光线时,需要有一个随机变量\(\omega \),这个随机变量就是光线的“出射角度”,更严格地说应该是“立体角”。

对于一个半球,它的总立体角是2π,那么关于\(\omega \)的pdf函数记为\(p(\omega ) \),而在上一篇文章中我们知道pdf的积分等于1,所以有:

\[ \int _{\omega = 0 }^{2π}p(\omega )d\omega = 1 \]

又因为我们希望\(\omega \)是符合均匀分布的,从而使得间接光照采样是概率无偏的,那么\(p(\omega ) \)是一个常数:

\[ p(\omega ) = C \]

\[ C\int _{\omega = 0 }^{2π}d\omega = 1 \]

这个方程是可以解出来的:

\[ C\int _{\omega = 0 }^{2π}d\omega = C(2π - 0 ) = 1 \]

\[ p(\omega ) = C = \frac {1}{2π} \]

成功解决了第一个事情:随机变量\(\omega \)的pdf函数

下一个问题是:把立体角\(\omega \)转换成球形角\(\phi 、\theta \),从而方便实际计算

\[ p(\omega ) d\omega = p(\theta , \phi) d\theta d\phi \]

其中,\(d\omega \)的转换方法在立体角(Solid Angle)详解中已经阐述过了,公式为:

\[ d\omega = sin\theta d\theta d\phi \]

所以有:

\[ p(\omega ) d\omega = p(\theta , \phi) d\theta d\phi \]

\[ p(\omega ) sin\theta d\theta d\phi = p(\theta , \phi) d\theta d\phi \]

\[ \frac {1}{2π} sin\theta d\theta d\phi = p(\theta , \phi) d\theta d\phi \]

\[ \frac {1}{2π} sin\theta = p(\theta , \phi) \]

\[ p(\theta , \phi) = \frac {sin\theta}{2π} \]

\( p(θ,ϕ)\) 被称为联合概率分布(joint probability distribution)。此时,我们需要实现对θ,ϕ各自的独立采样,所以需要把\( p(θ,ϕ)\)拆分开,求出\( p(θ)\) 和 \( p(ϕ) \)。幸运地是,有简单的方法可以实现同样的效果,那就是用边缘分布(marginal distribution)。计算过程如下:

\[ p(θ) = \int _{\phi = 0}^{2π}p(θ,ϕ)d\phi = \int _{\phi = 0}^{2π}\frac {sin\theta}{2π}d\phi = 2π \frac {sin\theta}{2π} =sin\theta \]

\[ p(ϕ) = \int _{θ = 0}^{ \frac {π}{2} }p(θ,ϕ)dθ = \int _{ θ = 0}^{ \frac {π}{2} }\frac {sin\theta}{2π}dθ = \frac {-cos\theta}{2π} | _{0}^{\frac {π}{2}}= \frac {-cos \frac {π}{2} }{2π} - \frac {-cos0 }{2π} = \frac {1}{2π} \]

\(p(ϕ)\)也可以用联合概率公式来求解:

\[ p(ϕ) =\frac {p(θ,ϕ)}{p(θ)} = \frac { \frac {sin\theta}{2π} }{ sin\theta } = \frac {1}{2π} \]

到了这里,事情还没完,还有2个东西要学习:

CDF, Cumulative distribution functionInverse transform sampling

CDF 累积分布函数

公式如下:

\[ CDF(x) = P( -\infty < X \leq x ) \]

大写X是指随机变量,小写x指的是参数,P是概率函数,因此CDF(x)的含义是,随机变量X的值小于等于x的概率

对于连续随机变量X,CDF可以用积分形式表示:

\[ CDF(s) = \int _{-\infty }^{s}pdf(x)dx \]

从基本定义延伸出来的公式:

\[ P(a < x \leq b) = CDF(b) - CDF(a) = \int _{ a }^{b}pdf(x)dx \]

CDF的性质:

\[ \lim _{x\to -\infty }CDF(x) = 0 \]

\[ \lim _{x\to +\infty }CDF(x) = 1 \]

实例,取值范围是[0,1]的随机变量X的CDF:

5.png

CDF一般也可以用\(F_{X}\)表示。

Inverse transform sampling 逆采样方法

步骤一:获得一个均布分布的随机变量u,这个u必须落在[0,1]范围内,并把这个u解释为“概率值”(概率的范围也是[0,1])。

步骤二:获得一个CDF(x)函数

步骤三:计算使得下面的不等式成立的x的最大值:

\[ CDF(x) = P( -\infty < X \leq x ) = F_{X}(x) < u \]

因为逆采样本质上是一个函数,变量是u,解是x,所以用这个不等式来表达逆采样方法是不方便的,更常见的做法是用\(F_{X}^{-1}(u) \)来表示逆采样。\(F_{X}^{-1}(u) \)的完整表达式一般用下确界或上确界等式表示:

上确界形式:

\[ F_{X}^{-1}(u) = \sup \lbrace F_{X}(x) < u \rbrace \]

下确界形式:

\[ F_{X}^{-1}(u) = \inf \lbrace F_{X}(x) \geq u \rbrace \]

\(F_{X}^{-1}(u) \)的重要性质:u的每一个取值都有唯一的x与之对应。使得这个性质的原因是CDF是一个递增的函数。

因此,在实际应用中,可以先随机一个u,再通过CDF函数计算出对应的x,又因为u是均匀采样(uniform sample)的,于是x也是均匀采样的。

再回到间接光照的问题

前面已经得到了\( p(θ)\) 和 \( p(ϕ) \):

\[ p(θ) = sin\theta \]

\[ p(ϕ) = \frac {1}{2π} \]

现在可以推导它们的CDF函数了:

\[ CDF(θ) = \int _{0 }^{θ}p(θ)dθ = \int _{0 }^{θ}sin\theta dθ = (-cos\theta) |_{0}^{θ} = -cos\theta - (-cos0) = 1 - cos\theta \]

\[ CDF(ϕ) = \int _{0 }^{ϕ}p(ϕ)dϕ = \int _{0 }^{ϕ}\frac {1}{2π}dϕ = \frac {1}{2π}\int _{0 }^{ϕ}dϕ = \frac {ϕ}{2π} \]

即:

\[ F_{θ}(θ) = 1 - cos\theta \]

\[ F_{ϕ}(ϕ) = \frac {ϕ}{2π} \]

然后就是推导这两个CDF的逆采样公式,设:

\[ u_{1} = 1 - cos\theta \]

\[ cos\theta = 1 - u_{1} \]

\[ \theta = cos^{-1}(1 - u_{1}) \]

即:

\[ F_{θ}^{-1}(u_{1}) = cos^{-1}(1 - u_{1}) \]

再设:

\[ u_{2} = \frac {ϕ}{2π} \]

\[ ϕ = u_{2}2π \]

即:

\[ F_{ϕ}^{-1}(u_{2}) = u_{2}2π \]

汇总一下:

\[ F_{θ}^{-1}(u_{1}) = cos^{-1}(1 - u_{1}) \]

\[ F_{ϕ}^{-1}(u_{2}) = u_{2}2π \]

总结一下:只要生成2个在[0,1]范围的符合均匀分布的随机数\( u_{1}、u_{2}\),就可以得到均匀分布的\(θ、ϕ\)了,就是这么简单。

有了\(θ、ϕ\)后,就可以代入3维的极坐标公式,得到3维的笛卡尔坐标:

\[ x= sinθ cosϕ \]

\[ y= cosθ \]

\[ z= sinθ sinϕ \]

坐标(x,y,z)必然落在圆心在原点、半径为1、法向量为(0,1,0)的半球的球面。

有了(x,y,z)坐标,就可以生成沿着半球面的均匀的出射光线了。之后的就是光线追踪的问题了。本文不表。

实际测试

把蒙特卡洛应用到我的离线渲染器中,效果如下:

1.png

有看起来比较奇怪的边缘噪点。暂时先这样吧。

参考资料

http://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/global-illumination-path-tracing/global-illumination-path-tracing-practical-implementation

(未经授权禁止转载)
Written on September 3, 2016

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