微分几何与渲染(1)

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参数坐标——uv坐标系

在ComputerGraphics(CG)中,一般称纹理坐标是uv坐标,但其实uv坐标还有别的用处,例如下文将介绍的微分几何方程。

既然被叫做uv坐标,那么它只有2个变量,但要注意,uv坐标和初中课本里面的xy坐标是不一样的,uv坐标可以用在曲面和平面,而xy坐标只能处理平面。

举个好理解的例子:一个完整的Sphere的uv坐标是什么呢?首先,定义一个球需要2个信息:球心坐标\( \vec o \)和半径r。

接着,对于球面上某个点,要怎么表示呢?中学几何课本里会这样子写:

\[ x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = r^ 2 \]

则有:

\[ p = (\vec o, r, x, y, z) \]

参数可以进一步简化,第一个方法是应用球坐标系(Spherical coordinate),即用2个角\(\theta \)、\(\phi \)定位球面上的一个点:

\[ p = (\vec o, r, \theta, \phi ) , 0 \leq \theta \leq π, 0 \leq \phi \leq 2π \]

1.png

这些球面点当然也有uv坐标表示法:

\[ p = (\vec o, r, u, v ) \]

可以看到, θφ坐标和uv坐标都是可以表示曲面上的点的,而且都是2个变量,所以它们之间存在某种转换关系:

\[ u=sinθcosϕ \] \[ v=sinθsinϕ \]

因为θ、φ是线性无关的,那么uv的取值范围为:

\[ -1 \leq u \leq 1, -1 \leq v \leq 1 \]

这个取值范围可以做一下转换,去掉负数:

\[ u' = \frac {1}{2}(u + 1), 0 \leq u' \leq 1 \]

\[ v' = \frac {1}{2}(v + 1), 0 \leq v' \leq 1 \]

另外,当uv坐标作为纹理坐标时,uv坐标的取值范围是 \( 0 \leq u \leq 1 \),\( 0 \leq v \leq 1 \)。

三角面片中的偏微分方程

每个mesh都是由有限数量的三角面片(下文简称Tri)组成,在渲染过程中,处理一个Tri和处理一堆Tri是一样的算法,所以只要解决单个Tri的渲染问题,就能渲染复杂的mesh。

3.png

假设上面这个图里的三角形表示mesh中的一个三角面片,三个顶点分别为:

\[ \vec p_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \]

\[ \vec p_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \]

\[ \vec p_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \]

虽然是三维的面片(顶点坐标有3个分量),但我们可以把这个Tri想象成在一个二维空间里,并且设想这个二维平面上有一个原点\( \vec p_{o} \)(o代表origin), \( \vec p_{o} \)和Tri的相对位置取决于Tri三个顶点的uv坐标值。

既然有了 \( \vec p_{o} \),就可以用方程表示三个顶点了:

\[ \vec p_{0} = \vec p_{o} + u_{0}\frac { \partial \vec p }{ \partial u } + v_{0}\frac { \partial \vec p }{ \partial v } \]

\[ \vec p_{1} = \vec p_{o} + u_{1}\frac { \partial \vec p }{ \partial u } + v_{1}\frac { \partial \vec p }{ \partial v } \]

\[ \vec p_{2} = \vec p_{o} + u_{2}\frac { \partial \vec p }{ \partial u } + v_{2}\frac { \partial \vec p }{ \partial v } \]

这3个方程里总共有3个未知量:\( \vec p_{o}、\frac { \partial \vec p }{ \partial u }、\frac { \partial \vec p }{ \partial v } \)。\( \vec p_{o} \)是可以消去的,后面的2个偏微分才是我们要求出来的。

要求这2个偏微分,需要先列出2个方程以便消去\( \vec p_{o} \):\( \vec p_{0} - \vec p_{2} 、 \vec p_{1} - \vec p_{2} \):

\[ \vec p_{0} - \vec p_{2} = (u_{0} - u_{2})\frac { \partial \vec p }{ \partial u } + (v_{0} - v_{2})\frac { \partial \vec p }{ \partial v } \]

\[ \vec p_{1} - \vec p_{2} = (u_{1} - u_{2})\frac { \partial \vec p }{ \partial u } + (v_{1} - v_{2})\frac { \partial \vec p }{ \partial v } \]

然后把这2个方程写成矩阵乘法的形式:

\[ \left[ \begin{matrix} u_{0} - u_{2}& v_{0} - v_{2}\\ u_{1} - u_{2}& v_{1} - v_{2}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { \partial \vec p }{ \partial u }\\ \frac { \partial \vec p }{ \partial v }\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \vec p_{0} - \vec p_{2} \\ \vec p_{1} - \vec p_{2}\\ \end{matrix} \right] \]

再根据矩阵初级变换,有:

\[ \left[ \begin{matrix} \frac { \partial \vec p }{ \partial u }\\ \frac { \partial \vec p }{ \partial v }\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} u_{0} - u_{2}& v_{0} - v_{2}\\ u_{1} - u_{2}& v_{1} - v_{2}\\ \end{matrix} \right] ^{-1} \left[ \begin{matrix} \vec p_{0} - \vec p_{2} \\ \vec p_{1} - \vec p_{2}\\ \end{matrix} \right] \]

再根据二阶矩阵的逆矩阵公式:

\[ A = \left[ \begin{matrix} a& b\\ c& d\\ \end{matrix} \right] \]

\[ A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \left[ \begin{matrix} d& -b\\ -c& a\\ \end{matrix} \right] \]

上式的逆矩阵可以变成:

\[ \left[ \begin{matrix} u_{0} - u_{2}& v_{0} - v_{2}\\ u_{1} - u_{2}& v_{1} - v_{2}\\ \end{matrix} \right] ^{-1} = \frac {1}{(u_{0} - u_{2})(v_{1} - v_{2}) - (v_{0} - v_{2})(u_{1} - u_{2})} \left[ \begin{matrix} v_{1} - v_{2}& -(v_{0} - v_{2})\\ -(u_{1} - u_{2})& u_{0} - u_{2}\\ \end{matrix} \right] \]

总结一下:3维空间中,某3个不同顶点组成的三角平面上的任意点\( \vec p \)关于u、v的偏微分的值完全一致,且可以通过三个顶点的xyz坐标和uv坐标求得。

(未经授权禁止转载)
Written on March 18, 2017

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