PBRT《章2》阅读笔记

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最近在看线代的公开课,顺便也把PBRT这个坑开了,合在一起学。

本文的cpp代码均来自https://github.com/mmp/pbrt-v2,木有修改。只为方便读者阅读。

正文

一个基本的渲染器,需要实现2点:输入场景数据、输出渲染图像。

输入场景数据这一步,就需要对3D世界各种东西进行抽象、并设计各种数据结构,比如比较fundamental的:3D空间向量、3D坐标系系统、光线,或者visible的:各种2D/3D几何体、纹理系统等。大概就是,这个渲染器要渲染的东西,程序上都会有一些对应的代码。渲染器不可能对未知的东西进行渲染。比如毛发、布这种高端的东西,一个基本的渲染器是无法渲染的,除非你写了一些代码来完成这个事情。

《PBRT》第二章就讲了这些基础的东西。

在前面的线代的文章中,提到了矩阵的基(basis)的概念。矩阵的基是一组线性无关的列向量,这个矩阵的列空间的任意一点,可以通过对矩阵的基的线性组合得到。

那么n维的情况下,定义一个向量的公式是:

\[ v = s_{1}v_{1} + \cdots + s_{n}v_{n} \]

定义一个点的位置的公式是:

\[ p = p_{0} + s_{1}v_{1} + \cdots + s_{n}v_{n} \]

对于渲染器的3维空间,要简化成:

\[ p_{0} = (0,0,0) \] \[ basis = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) \]

这3个标准基向量对应的空间被称为世界空间(world space)。

向量(vector)、点(point)的区别

向量和点,区别在于点没有长度的概念,也就是说点是零维的,点代表空间里的一个位置(pbrt的Point和Vector的差异是没有LengthSquared、Length函数),而向量没有起点的概念,向量只是指明了一个方向并且有长度。

3维空间下,如何从一个向量出发,构造出一组标准正交基

注意,这个问题是有重要意义的,因为一组标准正交基相当于一个坐标系。

  • 设\( v_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) \),并且v1已经单位化

  • 随便选择v1的某一个分量,并将它变成0,再交换剩余的2个分量的位置,并对其中一个分量取反,就能得到和v1正交的v2。这是因为这样构造出来的v2,必然使得\( v_{1}\cdot v_{2}=0 \)。比如当\( v_{2}=(-z_{1},0,x_{1}) \)时,有\( v_{1}\cdot v_{2}=(x_{1},y_{1},z_{1})\cdot (-z_{1},0,x_{1}) = 0\)

  • 上面的v2还有不足,因它不是单位化的。单位化的v2应该是\[v_{2}=\dfrac { (-z_{1},0,x_{1}) }{ \sqrt {z_{1}^{1}+x_{1}^{1}}} \]

  • 有了v1、v2后,v3就等于v1和v2的叉积(cross product): \( v_{3} =v_{1} \times v_{2} \)

法向量Normal

(突然意识到,pbrt把向量、点、法向量写成3个没有继承关系的类,意义在于,防止程序员乱用并搞砸代码=。=)

** A surface normal is a vector that is perpendicular to a surface at a particular position.It can be defined as the cross product of any two nonparallel vectors that are tangent to the surface at a point. **

法向量是与某个平面垂直,并经过平面上某个特殊位置的向量。可以用平面上2个互不平行、与平面正切的向量的叉积来表示。

法向量应该说是一种特殊的向量。pbrt也实现了一个以Vector为参数的Normal构造函数(但有explicit标志),允许通过向量构造出法向量。

光线Ray

光线是一条半无限长的线,用一个原点和一个方向向量来表示。

参数形式的光线表示:

\[ r(t) = o + td \ \ \ 0\leq t\geq \infty \]

光线还有其他成员变量:

  • mint maxt,用来限定t的范围
  • time 用于构建动画,当构建静态场景时不需要
  • depth 光线弹射深度。限制光线只能bounce多少次

微分光线Differential Ray

先跳过

包围盒

包围盒的主要作用,是用来优化程序性能的,更具体的说,就是让复杂场景物件简化成简单的球形、方盒,使得光线快速剔除不相交的对象,计算得更快。

BBox

这玩意神奇的地方,我觉得是它的构造函数。输入是2个Point,就能构造一个盒子,并且也仅仅是花了2个Point来存储。这2个新的Point和输入的Point不同,被称为pMin和pMax:

\[ pMin = (min(p_{1}.x,p_{2}.x), min(p_{1}.y,p_{2}.y), min(p_{1}.z,p_{2}.z)) \]

\[ pMax = (max(p_{1}.x,p_{2}.x), max(p_{1}.y,p_{2}.y), max(p_{1}.z,p_{2}.z)) \]

需要注意的是,根据这个转换公式,要使得pMin和pMax足够定义一个BBox,那么他们必然是BBox的2个对角顶点。且因为BBox平行于x、y、z轴,那么pMin和pMax的任意一个分量都不能相等。(否则,pMin、pMax就只能是BBox的一对邻接顶点)

p1、p2和pMin、pMax是什么关系呢?其实,p1、p2也是这个BBox的某一组对角顶点。计算出来的pMin、pMax也只是这4组对角顶点的特定的一组,只不过pMin必然是BBox8个顶点中最靠近坐标系原点的顶点、pMax必然是最远离坐标系原点的顶点。

转换Transformation

** In general, a transformation T is a mapping from points to points and from vectors to vectors:**

\[ p^{\prime } = T(p) \] \[ v^{\prime } = T(v) \]

回想下线代的知识,就可以知道,这个T必然是一个方阵,阶数等于p(或v)的维数,T对p(或v)的转换,其实只是一次矩阵乘法。

T有很多种,大部分是无特殊转换意义的,但有小部分是有特定意义且能用在图形学里的。譬如:

  • Translation,我称之为位置转换
  • Scaling,缩放转换
  • Rotation,旋转转换
  • LookAt,视角转换

Translation的一般形式:

\[ T(\vartriangle x,\vartriangle y,\vartriangle z) = \left[ \begin{matrix} 1&0&0&\vartriangle x\\ 0&1&0&\vartriangle y\\ 0&0&1&\vartriangle z\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

Scaling的一般形式:

\[ T(\vartriangle x,\vartriangle y,\vartriangle z) = \left[ \begin{matrix} x&0&0&0\\ 0&y&0&0\\ 0&0&z&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

Rotation的一般形式,比较复杂,先分成3种情况考虑。所谓的旋转,都要有一个轴线,对任意一个3维坐标系来说,有3条轴,所以就有以3条轴为轴线的3个Rotation:

\[ R_{x}(\theta ) = \left[ \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta &-sin\theta &0\\ 0&sin\theta &cos\theta &0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

\[ R_{y}(\theta ) = \left[ \begin{matrix} cos\theta &0&sin\theta &0\\ 0&1&0&0\\ -sin\theta &0&cos\theta &0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

\[ R_{z}(\theta ) = \left[ \begin{matrix} cos\theta &-sin\theta &0&0\\ sin\theta &cos\theta &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

以x轴的旋转分析一下:

因为:

\[ R_{x}(\theta )[x,y,z,w]^{T} = [x,cos\theta \cdot y - sin\theta \cdot z,sin\theta \cdot y + cos\theta \cdot z, w]^{T} \]

所以有:

\[ R_{x}(\theta )[1,0,0,0]^{T} = [1,0,0,0]^{T} \]

\[ R_{x}(\theta )[0,1,0,0]^{T} = [0,cos\theta ,sin\theta ,0]^{T} \]

\[ R_{x}(\theta )[0,0,1,0]^{T} = [0,-sin\theta ,cos\theta ,0]^{T} \]

可以看出,用Rx旋转x轴,x轴不变,旋转y、z轴,y、z轴会被顺时针旋转\(\theta \)度(左手坐标系时)。

Rotation有一些特性:

  • \( R_{\alpha }(0) = I \) 这个0是指\(\theta=0\),不是向量0
  • \( R_{\alpha }(\theta _{1})R_{\alpha }(\theta _{2}) = R_{\alpha }(\theta _{1} + \theta _{2}) \)
  • \( R_{\alpha }(\theta _{1})R_{\alpha }(\theta _{2}) = R_{\alpha }(\theta _{2})R_{\alpha }(\theta _{1}) \)
  • \( R_{\alpha }^{-1}(\theta ) = R_{\alpha }(-\theta ) = R_{\alpha }^{T}(\theta ) \)

回想下正交矩阵的定义:如果实数域上的方阵A满足 \( A^{T}A = I \),则称A为正交矩阵,根据上面的第四条性质,R显然也是一个正交矩阵。正交矩阵的好处是,它的逆矩阵很简单,等于它的转置矩阵。

当需要围绕任意一个向量做旋转时,可以这样想:

  • 设轴向量为a,要被旋转的向量为v
  • 把a向量当做一个x轴(y or z轴也行);把v到a的error向量(如果不知道什么是error向量,请看我之前的文章)当做y轴
  • 以x、y轴向量去计算正交的z轴向量(用叉积即可)
  • 就得到了一个以a向量为x轴的xyz坐标系了
  • 所以原问题就变成了,绕这个虚拟坐标系的x轴旋转

计算过程:

  • \( v_{c} = a\parallel v\parallel cos\alpha = a(v\cdot a) \)
  • \( v_{1} = v - v_{c} \)
  • \( v_{2} = v_{1}\times a \)
  • \( v_{1}^{\prime } = v_{1}cos\theta + v_{2}sin\theta \)
  • \( v^{\prime } = v_{c} + v_{1}^{\prime } \)

1.png

(书里没有标出来\( v_{c} \) ,红色的那段就是)

书里也没有解释上面第三个式子是怎么得到的。我的理解是,因为\( v_{1}^{\prime } \)和\( v_{1} \)等长,所以\( v_{1}^{\prime } \)在\( v_{1} \)上的投影(向量)等于\(v_{1}cos\theta \),又因为\( v_{1} \)是一个坐标系的轴,所以这个投影就是\( v_{1}^{\prime } \)对应这个轴的分量;同理,\(v_{2}sin\theta \),是\( v_{1}^{\prime } \)在\( v_{2} \)上的投影。这两个投影向量的和,就是\( v_{1}^{\prime } \)。

不过这个任意轴旋转的矩阵就不那么简单了,先设:

  • \( c = cos\theta \)
  • \( s = sin\theta \)
  • \( x,y,z = normalize(x,y,z) \)

\[ R_{(x,y,z)}(\theta ) = \left[ \begin{matrix} x^{2}+(1-x^{2})c&xy(1-c) -zs&xz(1-c)+ys&0\\ xy(1-c)+zs&y^{2}+(1-y^{2})c&yz(1-c)-xs&0\\ xz(1-c)-ys&yz(1-c)+xs&z^{2}+(1-z^{2})c&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

(好可怕的矩阵=。=,不过这世界上还有个东西叫四元数旋转。有空再写一篇四元数的文章)

LookAt转换

LookAt矩阵的第4列是摄像机在世界坐标系的坐标;第3列是单位化的视点朝向向量(摄像机的前方),即视点坐标减去第4列的坐标;第2列是单位化的up向量(摄像机的上方),以世界坐标系表示;第1列是摄像机坐标系的x向量在世界坐标系对应的向量。

第1列的x向量,是用第2列的up向量和第3列的朝向向量进行叉积得到。

设:

  • pos是摄像机坐标(世界坐标)
  • up是用户提供的摄像机朝向上方的向量(世界坐标)
  • look是用户提供的摄像机视点的向量(世界坐标)

于是有:

  • dir = Normalize(look - pos),摄像机的朝向向量(世界坐标)
  • xaxis = Normalize(Cross(Normalize(up), dir)),摄像机的x轴单位向量(世界坐标)
  • newUp = Cross(Normalize(dir), xaxis),新的单位化的up向量(世界坐标)。这里不太明白为什么不直接newUp = Normalize(up)。

\[ \left[ \begin{matrix} xaxis.x&newUp.x&dir.x&pos.x\\ xaxis.y&newUp.y&dir.y&pos.y\\ xaxis.z&newUp.z&dir.z&pos.z\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

Tranform的应用原理

Tranform对Vector和Point的作用过程,上面已经提到了,就是简单的矩阵相乘。

对Ray和BBox的转换,也不难,就是对Ray的o和d分量分别左乘T、对BBox的8个顶点分别左乘T。

这里要提一下法向量的Tranform。法向量是不能直接T(n)的,这是错误的。

直接贴公式:

\[ n\cdot t = n^{T}t = 0 \] \[ (n^{\prime })^{T}t^{\prime }= 0 \] \[ (Sn)^{T}Mt = 0 \] \[ n^{T}S^{T}Mt = 0 \] \[ S^{T}M = I \] \[ n^{\prime } = Sn = (M^{-1})^{T}n \]

M是某种转换,当M对一个面作用时,这个面的法向量要用上面最后那条公式转换。注意到公式里面有一个逆矩阵,所以这就是为什么Transform要存一个逆矩阵。

旋转四元数->旋转矩阵

虽然可以用四元数来实现旋转变换,但是如果能变回矩阵的形式,也是有用的。实际上却是办得到。

设四元数的旋转轴为: \[ q = [cos\frac {\theta }{2}, sin\frac {\theta }{2}\hat {v}] = [q_{w}, q_{x}i + q_{y}j + q_{z}k] = (q_{x}, q_{y}, q_{z}, q_{w}) \]

被旋转的点的原坐标为p,旋转后的坐标为\(p'\):

\[ p = [w, xi + yj + zk] = (x,y,z,0) \]

四元数表示的旋转公式:

\[ p' = qpq^{-1} \]

而矩阵表示的旋转公式是: \[ p' = Mp \]

M是未知的,目标就是算出M。把上面的p和q代入四元数旋转公式,就能得到一个新的四元数\(p'\),这个\(p'\)会有i、j、k分量,只要把i、j、k3个分量再按3个未知数x、y、z去分开,就得到一个9x9的矩阵,也就是M了。

我在纸上写了下推导公式,非常繁琐,不好弄成latex。直接贴上最终的公式吧:

3.png

(未经授权禁止转载)
Written on September 28, 2015

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