四元数公式的补充

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继上一篇四元数的文章Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》,已经过去一两年了。我发现那篇文章有一些细节没有讲得特别清楚,遂现在写一篇关于四元数公式的文章补缺下。

四元数的指数函数

先给出最终公式。设有任意四元数q:

\[q = s + x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k = s + \mathbf {v} = [s,\mathbf {v}] = [s,\mathbf 0] + [0,\mathbf {v}] \]

则有:

\[ e^{q} = e^{ s +\mathbf {v}} = e^{s}e^{\mathbf v} =e^{s}( cos|\mathbf v| + \mathbf v \frac {sin |\mathbf v| } { |\mathbf v| } ) \]

推导过程

首先搬出四元数的乘积公式:

\[ q_{a} = [s_{a},\mathbf {a}] \]

\[ q_{b} = [s_{b},\mathbf {b}] \]

\[ q_{a}q_{b} = [s_{a}s_{b} - a\cdot b, s_{a}b+s_{b}a+a\times b] \]

代入上面的\( \mathbf v = 0 + x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k \),得到:

\[ \mathbf v ^{2} = [ 0 - \mathbf v\cdot \mathbf v, 0 * \mathbf v + 0 * \mathbf v + \mathbf v\times \mathbf v] \]

\[ = [ - \mathbf v\cdot \mathbf v, 0 + 0 + 0] \]

\[ = - \mathbf v\cdot \mathbf v \]

\[ = - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \]

\[ = -|\mathbf v|^{2} \]

这时候设\( |\mathbf v| = θ \) (注意,这个θ没有实际意义,只是一个临时符号),那么就有:

\[ \mathbf v ^{2} = -θ^{2} \ \ ,\ \ \mathbf v ^{3} = -θ^{2}\mathbf v \ \ ,\ \ \mathbf v ^{4} = θ^{4} \ \ ,\ \ \mathbf v ^{5} = θ^{4}\mathbf v \ \ ,\ \ \mathbf v ^{6} = -θ^{6} \ \ ,\cdots \]

下一步,拿出指数函数使用极限形式的定义(证明见[2]):

\[ e^{x} = \sum _{k=0}^{\infty } \frac {x^{k} }{k!} \ \ \ \ x是实数 \]

把实数x替换成上面的四元数\(\mathbf v\),并利用上面的数列,则得到:

\[ e^{\mathbf v} = \sum _{k=0}^{\infty } \frac {\mathbf v^{k} }{k!} \]

\[ = 1 + \frac {\mathbf v}{1!} - \frac {θ^{2}}{2!} - \frac {θ^{2}\mathbf v}{3!} + \frac {θ^{4}}{4!} + \frac {θ^{4}\mathbf v}{5!} - \frac {θ^{6}}{6!} + \cdots = \]

\[ = 1 + \frac {θ\mathbf v}{1!θ} - \frac {θ^{2}}{2!} - \frac {θ^{3}\mathbf v}{3!θ} + \frac {θ^{4}}{4!} + \frac {θ^{5}\mathbf v}{5!θ} - \frac {θ^{6}}{6!} + \cdots = \]

\[ = ( 1 - \frac {θ^{2}}{2!} + \frac {θ^{4}}{4!} - \frac {θ^{6}}{6!} \cdots ) + \frac { \mathbf v }{θ} ( \frac {θ}{1!} - \frac {θ^{3}}{3!} + \frac {θ^{5}}{5!} \cdots ) = \]

\[ = cosθ + \frac { \mathbf v }{θ} sinθ \]

最后一步里,2个无穷数列变成三角函数,是用了泰勒公式[3]。

然后,把假设出来的θ去掉,得到:

\[ e^{\mathbf v} = cos|\mathbf v| + \frac { \mathbf v }{|\mathbf v|} sin|\mathbf v| \]

所以有:

\[ e^{q} = e^{ s +\mathbf {v}} = e^{s}e^{\mathbf v} =e^{s}( cos|\mathbf v| + \mathbf v \frac {sin |\mathbf v| } { |\mathbf v| } ) \]

得证。

参考资料

[1] Exponential Function of Quaternion - Derivation

[2]指数函数的泰勒展开公式的证明:

MacLaurin series of Exponential function

[3] cos sin三角函数的泰勒展开公式的证明:

MacLaurin series of Trigonometric function

Quaternions, Interpolation and Animation

(未经授权禁止转载)
Written on April 4, 2017

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