球谐函数——数学基础

Tags:

三种坐标系

矩坐标

矩坐标似乎是中文网络上才有的说法,正确叫法是笛卡尔坐标系

7.png

柱坐标

柱坐标其实就是圆的定义的延伸。柱的横截面是圆,圆有一个半径r和角度φ,柱则还有一个厚度维度z。

7.png

球坐标

球坐标是极坐标的三维形式。

7.png

基函数和投影和重建

基函数和正交

假设3D空间中有一个点P,记它的位置为函数f,f究竟是个什么东西呢?或者说怎么用数学描述f?

答案是用坐标系,坐标系的本质就是一组正交的基函数(basis)

大家知道3D空间的笛卡尔坐标系有3个basis:(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)。这3个基向量是正交的。

正交性有2个特点:

  • 任意2个不同的basis之间点积结果为0
  • 任意一个basis和它自己做点积,结果为常数c

用积分式子表达这个正交关系:

7.png

(当C为1时,其中的F称为正交基函数orthonormal basis functions)

有了这个概念后,f这个事情就有了下一步的方向了:怎么用(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)描述f?

投影

假设这个3D空间中有另一个参数物O,那么P究竟离O*有多远呢*

假设没有其他工具、且人眼变成了一个正交相机,那么可以用三视角来判断P和O的距离:

  • 站在P的正面,观察P和O的相对位置,即得到P在xy平面的投影点
  • 站在P的侧面,观察P和O的相对位置,即得到P在yz平面的投影点
  • 站在P的头顶,观察P和O的相对位置,即得到P在xz平面的投影点

平面上的投影点P',和O的关系又怎么办呢?因为我们已经通过三视图把三维问题降成了二维问题,同理也可以把二维问题降到一维,即继续把P投影到三个basis轴上得到P''。P''和O的距离就好办了,用尺子量。

通过这个降维的办法,最终就能得到P在三个basis(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)上的投影距离x、y、z,一般也叫投影系数。也可记为:(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z)。

同时f可以记为f=(x,y,z)。f的投影过程可以数学描述了。

记basis为\(\mathbf B_{i}\), f在\(\mathbf B_{i}\)投影系数记为\(C_{i}\),并拓展f到任意维度、任意坐标系:

\[ C_{i} = \mathbf f \cdot \mathbf B_{i} \]

验证:

\[ (x,y,z) \cdot (1,0,0) = x \] \[ (x,y,z) \cdot (0,1,0) = y \] \[ (x,y,z) \cdot (0,0,1) = z \]

到了这里,f到三个basis的投影问题就解决了。接下来讨论的是怎么用basis和投影参数,重建f

重建

很简单,f其实就是三个basis和三个投影系数分别相乘后的累加:

\[ (1,0,0) * x = (x,0,0) \] \[ (0,1,0) * y = (x,y,0) \] \[ (0,0,1) * z = (0,0,z) \] \[ f = (1,0,0) * x + (0,1,0) * y + (0,0,1) * z = (x,y,z) \]

也可以用矩阵的形式表达:

\[ \mathbf f = \left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ \end{matrix} \right] \]

更标准的描述:

\[ \mathbf f = \sum_{i=1}^{n} \mathbf B_{i} C_{i} \]

注意这里的\(\mathbf B_{i}\)基函数究竟是什么样的是不确定的,可能是上面的笛卡尔基函数,也可能是球坐标基函数,当然最重要的是下文会提到的球谐基函数。

综上,当f未知而\(C_{i}\)已知时,我们可以用上述公式重建出f。

数学期望和蒙特卡洛积分

数学期望

数学期望是随机变量输出值的加权平均,连续随机变量的数学期望公式如下:

7.png

其中的p是概率密度函数,p的积分需要等于1。

举一个例子,求f(x) = 2 - x在定义域[0, 2]的数学期望值。需要先构造一个概率密度函数p,p显然等于1/2。于是有:

7.png

蒙特卡洛积分

对于没有解析式或者不好算积分的f(x),可以用离散采样f(x)并加权求平均的方法求数学期望:

7.png

再结合上一节的式子:

7.png

就可以用来算f(x)的积分了(不是数学期望!):

7.png

这也就是所谓的蒙特卡洛积分了。

(未经授权禁止转载)
Written on March 16, 2022

写作不易,您的支持是我写作的动力!