立体角(Solid Angle)详解

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理解立体角之前要先理解圆心角。在二维平面上,一个圆的圆弧的微分记为ds(也叫弧微分),半径为r,则圆心角指的是弧微分与半径的比值:

\[ d\theta = \frac {ds}{r} \]

对这个式子做0到2π的积分的话,显然右边的分子变成了圆周长2πr,圆心角为\( \frac { 2πr }{r} = 2π \)。

立体角与圆心角非常类似。立体角的ds的含义是球面上的面积微分(下文用dA表示),而分母需要变成半径r的平方(1球面度所对应的立体角所对应的球面表面积为\(r^{2}\) ):

\[ d\omega = \frac {dA}{r^{2}} \]

因为球体表面积等于\( 4πr^{2} \),所以上面的式子积分到整个球体的话,立体角等于4π。

再换个角度分析。在宏观上看,立体角的定义是:

\[ \Omega = \frac {A}{r^{2} } sr \]

其中,sr是单位,叫做球面度;A是这个立体角所对应的球表面积,A被叫做spherical cap(球帽?)。

spherical cap的几何表示如下:

8.png

(from wiki)

spherical cap面积等于\(2\pi rh \),所以上式可变成:

\[ \Omega = \frac {2\pi rh}{r^{2} } sr \]

当h等于r时,得到:

\[ \Omega = \frac {2\pi rr}{r^{2} } sr = 2\pi \ sr \]

此时得到的是半球的立体角,那么就可以知道整个球的立体角为\(4\pi \),和上述结论一致。

立体角(Solid Angle)转换到球形角(Sphere Angle)

Spherical Coordinates坐标系下的单位球,可用2个弧度变量来定位球面上一个点:\(\theta 和 \phi \)。和三维坐标系的对应关系如下:

\[ x = sin\theta cos\phi \]

\[ y = sin\theta sin\phi \]

\[ x = cos\theta \]

简单验证下。把上面3个式子代入单位球公式:\(x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1\),可得:

\[ (sin\theta cos\phi)^{2} + (sin\theta sin\phi )^{2} + cos^{2}\theta = 1 \]

\[ sin^{2}\theta (cos^{2}\phi + sin^{2}\phi ) + cos^{2}\theta = 1 \]

\[ sin^{2}\theta + cos^{2}\theta = 1 \]

那么,立体角\(\omega \)和\(\theta 、 \phi \)是什么关系呢?先给出答案:

\[ d\omega = sin\theta d\theta d\phi \]

似乎有点莫名其妙,这里我详细解释吧。首先先搞懂\( d\theta 和 d\phi \)的几何意义。

弧度变量的单位是弧度,百度百科给出的1弧度的定义

弧长等于半径的弧,其所对的圆心角为1弧度。(即两条射线从圆心向圆周射出,形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时,两条射线的夹角的弧度为1)。

因此可以知道整个圆的弧度为周长\(2\pi r\)除以半径\(r\)等于\(2\pi \)。

如果已知弧度和半径,就可以求出弧长s,那么上面的\(\theta 、 \phi \)对应的弧长就是:

\[ s_{ \theta } = r_{ \theta }\theta \]

\[ s_{ \phi } = r_{ \phi }\phi \]

微分形式:

\[ ds_{ \theta } = r_{ \theta } d\theta \]

\[ ds_{ \phi } = r_{ \phi } d\phi \]

\( r_{ \theta }、r_{ \phi }\)的值并不是相等的,需要接着分析。

在球坐标系下,\(\theta 、 \phi \)指的是这2个角:

9.png

\(\theta\)是\( \vec {op} \)与z轴的夹角;而\(\phi\)是\( \vec {op} \)在xy平面上的投影向量与y轴的夹角。

从图可知,\( r_{ \theta } \)与圆的半径r相等;而\( r_{ \phi } \)是小于等于r的(注意看上面的小圆),且有:

\[ sin\theta = \frac { r_{ \phi } } {r_{ \theta } }\]

当球是单位球时,球的半径为1,所以有:

\[ r_{ \theta } = 1\]

\[ r_{ \phi } = sin\theta r_{ \theta } = sin\theta \]

又因为在微观下,立体角对应的曲面(或者叫球帽)面积可以当做一个小矩形看,这个小矩形dA的面积等于2个弧长\( ds_{ \theta } \)和\( ds_{ \phi } \)的积:

\[ dA = ds_{ \theta }ds_{ \phi } = r_{ \theta } r_{ \phi }d\theta d\phi = sin\theta d\theta d\phi \]

再因为立体角的微分其实也就是这个小矩形的面积,那么就有:

\[ d\omega = dA = sin\theta d\theta d\phi \]

(未经授权禁止转载)
Written on July 9, 2016

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